Si asumimos que podemos conocer las verdades, entonces debemos asumir también que actualmente son conocidas todas las verdades. La primera parte no resulta difícil de aceptar pero la segunda parte sí. Más aún, lo sorprendente es que parece existir una relación de consecuencia lógica entre estos dos enunciados de tal modo que la primera afirmación implica la segunda. Esta es la denominada paradoja de Fitch que difumina la distinción entre el conocimiento actual y el conocimiento posible. ¿Cómo se ha llegado a este punto? ¿Cómo se justifica? ¿Cómo podemos salir?

Alonzo Church enseñando en una pizarra. Algunos no dudan en otorgar a este pensador un papel fundamental en la consecución de la paradoja de Fitch. Fuente: Stanford Encyclopedia of Philosophy (https://plato.stanford.edu/entries/church/)

Sobre el conocimiento

Siguiendo al análisis estándar de conocimiento, el cual puede rastrearse hasta el Teeteo de Platón, tenemos que el conocimiento es definido como una creencia verdadera justificada. Se trata de una tesis que versa sobre creencias expresables proposicionalmente que se cualifican en virtud de determinadas propiedades relacionadas con la verdad y la justificación.

Sobre la problemática del conocimiento se han vertido ríos de tinta tanto en lo relativo al propio análisis como en lo concerniente a sus propiedades. Sobre las creencias es preciso considerar las investigaciones actuales de las ciencias cognitivas. Sobre la noción de verdad existe una pugna entre diversas teorías tales como la tradicional de la correspondencia (Adaequatio rei et intellectus), la coherentista, la pragmatista, la deflacionaria, etc. Además de la importancia del análisis lógico de “verdad en una estructura” característico del concepto de verdad en los lenguajes formales estudiado por Tarski. Sobre la justificación cabe mencionar que no se trata de una temática menos discutida que las anteriores dentro de la epistemología. Han surgido problemas como el de Gettier, los tropos de los escépticos, el trilema de Münchhausen y herramientas analíticas como la lógica epistémica.

Un trilema es un problema que solo admite tres soluciones. En la imagen observamos al barón de Münchhausen sacándose del lodo tirando de su propio pelo

Ahora bien, gran parte del impacto de la paradoja de Fitch reside en que no depende de un compromiso con una concepción particular de la verdad o de la justificación para que genere sus efectos prima facie inaceptables sobre el conocimiento. Basta con admitir una tesis fácilmente asumible (de hecho, difícilmente renunciable) presente no solo en distintas teorías epistémicas sobre la verdad, sino en concepciones intuitivas y ordinarias sobre el conocimiento que manejamos cualquier persona en nuestra vida corriente.

La paradoja

Existen muchos tipos de paradojas. El «cubo imposible» es un ejemplo de objeto paradójico

La asunción en cuestión se puede expresar en términos del principio de cognoscibilidad, a saber: cualquier verdad es susceptible de ser conocida. La paradoja consiste en que a partir del principio de cognoscibilidad se puede derivar que toda verdad es actualmente conocida. Esta implicación de la cognoscibilidad de las verdades al conocimiento actual de todas las verdades resulta inaceptable en tanto que supone la admisión de un idealismo ingenuo. El enunciado que afirma que todas las verdades son actualmente conocidas parece contradecir nuestras intuiciones más elementales sobre el conocimiento en general. Sin embargo, el problema consiste en que este enunciado contraintuitivo se sigue lógicamente del principio de cognoscibilidad que simplemente afirma que podemos conocer las verdades. Para mostrarlo partimos de seis principios apoyándonos en la aproximación que hace Salerno (2010):

α. Cualquier verdad es cognoscible: ∀A(A ⊃ ◊KA), donde “◊” es el operador modal de posibilidad que puede leerse como “es posible que” y “K” es un operador epistémico de cognoscibilidad que puede leerse como “es conocido que” (por algún agente en algún momento). Se trata del mencionado principio de cognoscibilidad y lo que expresa es que para todo enunciado A, si A entonces es posible conocer A.

β. No poseemos el atributo de la omnisciencia: ∃A(A ∧ ¬KA). Existe un enunciado verdadero tal que no es conocido o, dicho de otro modo, hay verdades no conocidas.

γ. El conocimiento de una conjunción implica el conocimiento de los conjuntos por separado: K(A ∧ B) ⊢ KA ∧ KB.

δ. El conocimiento de un enunciado implica la verdad del enunciado: KA ⊢ A. Se sigue de la misma definición platónica de conocimiento antedicha.

ε. Cualquier teorema es necesario: si ⊢A, entonces ⊢□A, donde “□” es el operador modal de necesidad que puede leerse como “es necesario que”.

ζ. La necesidad de la negación de un enunciado implica que el enunciado es imposible: □¬A ⊢ ¬◊A

Si partimos de la premisa de que podemos conocer las verdades, obtenemos como conclusión que todas las verdades son conocidas. La deducción que prueba la corrección de esta inferencia es el argumento de Fitch que reconstruimos del siguiente modo:

  1. Tenemos que A ∧ ¬KA es verdadero como instancia del principio β. Informalmente, una verdad en particular no es conocida.
  2. Tenemos que (A ∧ ¬KA) ⊃ ◊K(A ∧ ¬KA) es verdadero como instancia del principio α en la que se sustituyen la variable proposicional por 1. Informalmente, si una verdad en particular no es conocida, entonces es posible conocer que una verdad en particular no es conocida.
  3. Derivamos ◊K(A ∧ ¬KA) por modus ponens en 2 y 1. Informalmente, es posible conocer que una verdad no es conocida.
  4. Introducimos como hipótesis K(A ∧ ¬KA). Informalmente, es actualmente conocido que una verdad no es conocida.
  5. Derivamos KA ∧ K¬KA a partir de 4 y del principio γ. Informalmente, es conocida una verdad y es conocido que no es conocida dicha verdad.
  6. Derivamos la contradicción KA ∧ ¬KA a partir del principio δ aplicado a la parte derecha de la conjunción de 5. Informalmente, es conocida una verdad y no es conocida dicha verdad.
  7. Probamos el teorema ¬K(A ∧ ¬KA) por reducción al absurdo de 4 y la contradicción obtenida en 6 (se descarga la hipótesis introducida en 4). Informalmente, no es actualmente conocido que una verdad no es conocida.
  8. Deducimos □¬K(A ∧ ¬KA) aplicando el principio ε a 7. Informalmente, es necesario que no es actualmente conocido que una verdad no es conocida.
  9. Concluimos ¬◊K(A ∧ ¬KA) aplicando el principio ζ a 8. Informalmente, no es posible conocer que una verdad no es conocida.

Como puede observarse, los pasos 3 y 9 del argumento son contradictorios. La contradicción se deriva del principio de cognoscibilidad y del principio de no-omnisciencia. Esto quiere decir que si se pretende mantener el principio según el cual las verdades son susceptibles de ser conocidas, entonces se debe negar el principio que afirma que no conocemos todo, esto es, que hay verdades no conocidas. Por consiguiente, se debe admitir que ¬∃A(A ∧ ¬KA) es verdadero, de lo cual se sigue ∀A(A ⊃ KA) que informalmente expresa que todas las verdades son actualmente conocidas.

La paradoja de Fitch, por tanto, puede expresarse en la siguiente inferencia correcta: ∀A(A ⊃ ◊KA) ⊢ ∀A(A ⊃ KA). Informalmente, toda verdad es posible que sea conocida tiene como consecuencia lógica que toda verdad es actualmente conocida. Pero esta consecuencia es manifiestamente falsa en lo que respecta a nuestras intuiciones sobre el conocimiento.

Frederic B. Fitch. Fuente: gf.org

Breve historia

El origen de esta paradoja se remonta al artículo de Frederic B. Fitch A Logical Analysis of Some Value Concepts publicado en 1963. En el célebre teorema 5 de dicha publicación se establece si existe algún enunciado verdadero no conocido, entonces existe un enunciado verdadero cuya verdad no es cognoscible (Fitch 1963, p.139). Lo que se prueba es el colapso de la ignorancia contingente con la ignorancia necesaria en tanto que afirma que si existe una verdad actualmente no conocida, entonces existe una verdad que no es posible conocer.

Con el teorema 5 la incognoscibilidad necesaria se sigue de la mera ignorancia contingente. Podemos formalizar esta inferencia del siguiente modo: ∃A(A ∧ ¬KA) ⊢ ∃A(A ∧ ¬◊KA). Como puede observarse esta inferencia es la contrapositiva (y, por tanto, equivalente) de la inferencia del párrafo anterior en la que expresamos la paradoja de Fitch. La primera persona que dio esta formulación fue un evaluador anónimo que revisó el trabajo de Fitch en 1945. Tal evaluador anónimo resultó ser Alonzo Church (matemático que aportó algunos de los resultados más relevantes en lógica, maestro de Alan Turing y uno de los padres de la teoría de la computación), tal como descubrió más de medio siglo después Salerno (2010). Por este motivo la paradoja también es conocida como la paradoja de Church-Fitch.

Alonzo Church

A finales de los años setenta y principios de los años ochenta del siglo pasado se comprendió el teorema 5 de Fitch como una confutación de la tesis según la cual todas las verdades son cognoscibles, puesto que su admisión conduce al absurdo de que todas las verdades son conocidas. Se trataría de una reducción al absurdo que muestra el fallo de la tesis inicial y no de una paradoja. En algunos casos se utilizó esta refutación para impugnar el verificacionismo neopositivista. Esta perspectiva se alejó del análisis lógico de conceptos axiológicos que pretendió realizar Fitch a partir de sistemas modales y deónticos. Comprendió su resultado como una falacia del condicional. Fue más adelante cuando se empezó a comprender el teorema 5 de Fitch como una paradoja de la cognoscibilidad que identifica dos conceptos intuitiva y manifiestamente diferentes, a saber: el conocimiento actual y el conocimiento posible.

Conclusión

Como conclusión debemos señalar dos aspectos del problema. Por un lado, en lo concerniente a la dimensión técnica, no han sido precisamente escasas las propuestas lógico-matemáticas para resolver la paradoja de Fitch. Por otro lado, en lo que respecta a las consecuencias filosóficas, esta paradoja impacta en el problema del realismo y el antirrealismo semánticos. Estos dos aspectos (soluciones e interpretaciones) del problema no han sido tratados en el desarrollo de este artículo de presentación de la paradoja. Podremos aproximarnos a ellos en próximos episodios…

Algunos postulados de la paradoja de Fitch. Fuente: scielo.br

Bibliografía

Alexander, S. (2013). An Axiomatic Version of Fitch’s Paradox. Synthese, 190, 2015–2020.

Beall, J.C. (2000). Fitch’s proof, verificationism, and the knower paradox. Australasian Journal of Philosophy, 78, 241–247.

Fitch, F. (1963). A logical analysis of some value concepts. The Journal of Symbolic Logic, 28, 135–142.

Salerno, J. (2010). Introduction to Knowability and Beyond. Synthese, 173, 1–8.

Zardini, E. (2015). Truth, Demonstration and Knowledge. A Classical Solution to the Paradox of Knowability. Theoria, 30, 365–392.

Foto de portada procedente de Stanford Encyclopedia of Philosophy (https://plato.stanford.edu/entries/church/)